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- 宇宙的半径公式是谁列出来并证明的，证明过程是什么？
- 宇宙学初探3 基本方程
- 一、状态方程（对单一成分） Equation of State
- 二、流体方程 Fluid equation
- 三、动力学方程与能量方程
- 四、弗里德曼方程 Friedmann equations
- 五、FLRW度规 FLRW metric
- 科学家是根据什么来计算出宇宙的年龄的？
宇宙的半径公式是谁列出来并证明的，证明过程是什么？
宇宙的半径公式是由哈勃和许多其他科学家在20世纪和21世纪初共同发现的。
这个公式是基于对宇宙微波背景辐射和宇宙的大尺度结构的研究得出的。
具体来说，宇宙的半径公式是根据宇宙度规来推导的。
宇宙度规是一种描述宇宙空间几何结构的数学模型，它表示为 ds2=−dt2+a2(t)(dx2+dy2+dz2)。
这个度规表明，宇宙的空间几何是平直的，因为三个坐标轴上的距离都是以相同的速率扩展的。
根据宇宙度规，我们可以计算出宇宙微波背景辐射的传播距离，即大爆炸至今光传播的距离，这个距离被称为宇宙的半径。
具体来说，我们可以通过积分 ds2=−dt2+a2(t)dx2=0 来计算出大爆炸至今光传播的坐标距离x，然后将这个积出的值乘上某个时刻的尺度因子就是该时刻的当今可观测宇宙半径值。
最后，我们可以根据观测数据确定宇宙的半径。
观测数据表明，宇宙微波背景辐射的传播距离约为13.8×10^9光年，因此我们可以得出宇宙的半径约为4×10^26米。
需要注意的是，这个半径并不是指整个宇宙的大小，而是指人类可观测到的宇宙范围的大小。
总之，宇宙的半径公式是通过观测数据和宇宙度规推导出来的，它的证明过程是基于对宇宙微波背景辐射和宇宙的大尺度结构的研究。
宇宙学初探3 基本方程
严格来说，本文的推导应该使用广义相对论，但为了容易理解，本文使用经典力学近似。
先介绍几个基础概念。
可观测宇宙是宇宙中与观测者有因果关系的区域。
由宇宙学原理，宇宙是均匀且各向同性的，故可观测宇宙是以观测者为中心的球体。
由于光速和宇宙年龄是有限的，因此可观测宇宙也是有限的球体。
值得注意的是，整个宇宙可能是无限的。
如无特别说明，下文中的“宇宙”一词均指“可观测宇宙”。
假定现在时刻宇宙的半径为R。
某个时刻的尺度因子scale factor（记为a），就是该时刻宇宙半径R与现在宇宙半径R0的比值a。
由于宇宙是在膨胀的，所以过去的宇宙更小，其尺度因子小于1；类似地，现在的a=1，未来的a大于1。
定义某个时刻的哈勃参数Hubble parameter H。
现在时刻的H叫做哈勃常数Hubble constant，记为H0。
如果某个星系离我们的距离是d，那么随着宇宙膨胀，d会随时间越来越大。
为了消除宇宙膨胀的影响，我们定义共动距离comoving distance d0，这样d0不会随时间变化。
一、状态方程（对单一成分） Equation of State
符号说明：k表示玻尔兹曼常数，n是分子数目，m是气体总质量，ρ是气体密度，m是单个分子的质量，v是分子速率，c是光速。
考察理想气体状态方程pv = nRT
与以下方程联立ρ = m/n，可得ρ = (kT/m)v。
定义状态方程参数w，我们把此式叫做状态方程equation of state(EOS)。
对于绝大多数物质而言，其速度远小于光速，故w可以看成是0，所以物质的状态方程参数w=0；而对于辐射，其速度等于光速，所以辐射的状态方程参数w=-1。
我们以后讨论曲率和暗能量的状态方程参数（ΛCDM模型下，曲率的w=0，暗能量的w=-1）。
二、流体方程 Fluid equation
参考文章Shinehope：利用牛顿引力理论进行宇宙膨胀中的弗里德曼方程，流体方程与加速度方程的推导
写出热力学第一定律TdS + pdV = 0，其中T是宇宙的温度，S是宇宙的熵，p是宇宙的压强，V是宇宙的体积。
假设宇宙的膨胀是绝热的，即TdS = 0。
此时热力学第一定律为pdV = 0，或者写成含质量的形式，(ρc^2 + p)dV = 0。
由宇宙学原理，宇宙是均匀的。
设宇宙是具有均匀密度ρ的半径为R的球体.，则V = 4/3πR^3且ρ = m/V。
将此代入(ρc^2 + p)dV = 0，我们有
(ρc^2 + p) * 4/3πR^2dR = 0
整理得ρc^2 + p = 0
设尺度因子是a，现在的宇宙半径是R0，则a = R/R0，因此p = -ρc^2/a^2。故
p = -ρc^2/a^2
我们把这个方程叫做流体方程Fluid Equation。
三、动力学方程与能量方程
现在考虑两个质量分别为m1的物体。
当m1不变时，万有引力定律F = Gm1m2/r^2给出的引力势能是-1/2Gm1m2/r。
但当质量m1变化时（即m1变大），它给出的引力势能则不是-1/2Gm1m2/r。
为了维持-1/2Gm1m2/r的引力势能是常数，我们需要修正万有引力定律为
F = Gm1m2/r^2 * (1 - v^2/c^2)
（其中F是m2受到的引力，v是m2相对于m1的速度）此外，由于宇宙加速膨胀，在观测者看来，物体会自发地加速远离观测者，相当于有一个“背景力”，公式为
（其中Λ是宇宙学常数，F是观测者到m2的向量）现在假设m1只受来自m2的引力F与背景力F，即合力F。写出牛顿第二定律F = m1a，我们得到动力学方程
m1a = -Gm1m2/r^2 * (1 - v^2/c^2) - Λ * m1
等式两边乘m1得m1^2a = -Gm1^2m2/r^2 * (1 - v^2/c^2) - Λ * m1^2
因此方程变为m1^2a = -Gm1^2m2/r^2 * (1 - v^2/c^2) - Λ * m1^2
令动能T = 1/2m1v^2，引力势能U = -1/2Gm1m2/r，背景势能V = -Λm1，得到能量方程T + U + V = constant
四、弗里德曼方程 Friedmann equations
现在让M表示宇宙总质量，m表示宇宙边缘的某个测试物体（看成质点）的质量。
不妨设测试物体质量m不变，即dm/dt = 0。
但注意宇宙总质量M可能是变化的，即dM/dt ≠ 0（回忆前文我们探讨宇宙总质量守恒的条件）。
写出能量方程
M(dT + dU + dV) = 0
其中动能T，引力势能U，背景势能V。因为M，由上式看出能量E = T + U + V守恒。约掉里面M的因子，得到dE/dt = 0，这里E是不随质量M与时间t变化的常数。定义曲率κ使得dR/dt = H0 * a，其中R是现在时刻宇宙的半径。此时能量方程变为两边同时乘a^2/dt再除以H0^2，得到H0^2a^2 = 8πG(a^2ρ + p)
由于宇宙膨胀，且具有负压强p，所以宇宙总能量E不守恒，而且越来越大，这主要是由暗能量所贡献的（因为宇宙中主要成分是暗能量，而暗能量的w=-1，所以暗能量贡献的ρc^2/a^2）。五、FLRW度规 FLRW metric
结合广义相对论和宇宙学原理，可以得到时空的结构：（采用ds^2 = -dt^2 + a^2(t)(dr^2 + r^2(dθ^2 + sin^2(θ)dφ^2)）
联立以上三个方程可得ds^2 = -dt^2 + a^2(t)(dr^2 + r^2(dθ^2 + sin^2(θ)dφ^2)）。
这就是FLRW度规FLRW metric。
其中κ是宇宙的曲率。
总结：基本方程用现代物理推导弗里德曼方程用到的方程
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科学家是根据什么来计算出宇宙的年龄的？
关于宇宙年龄的最新数据显示，宇宙的年龄大概为140亿年。
在很久很久以前，我们的宇宙仍然是一个质量很大但体积很小的点。
突然这一点发生了爆炸，产生了中子、质子和电子。
这时候，宇宙温度很高，温度高达 100亿度以上。
随着宇宙迅速膨胀，温度逐渐降低，这些基本粒子形成了多种元素，这些粒子相互吸引，形成了越来越多的大型团块， 这些团块逐渐演变成星系、恒星和行星，单个天体上也出现了生命现象。
能够理解宇宙的人类终于在这个时候诞生了。
这是目前关于宇宙历史最有可能的解释。
宇宙有多古老？科学家最初认为它在 100亿到 200亿年之间。
近年来的一些研究进一步缩小了这个范围： 我们的宇宙大约有 140亿年的历史了。
科学家们在美国国家航空航天局的新闻发布会上介绍说。
他们使用哈勃太空望远镜观测了银河系中最古老的白矮星，这为确定宇宙的年龄提供了一个全新的方法。
根据新结果计算的宇宙年龄约为 130亿至 140亿年。
这些古老的白矮星被发现在一个球状簇中，该簇名为M4，位于距地球 7000 光年的天蝎座。
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